Coupling strategies of Compatible Discrete Operators schemes applied to Maxwell equations in time domain
Stratégies de couplage des méthodes Compatible Discrete Operators appliquées aux équations de Maxwell dans le domaine temporel
Résumé
In numerical simulations of Maxwell's equations, one of the main goals is to accurately represent the physical reality of electromagnetic fields while keeping a low computational cost. Numerous methods exist for solving the system in the time domain, each with its own strengths and weaknesses, depending on the situation. In this thesis, we focus on two coupling strategies of Compatible Discrete Operators (CDO) schemes applied to Maxwell's equations in time domain. The first consists in locally defining the metric of the scheme by considering the mesh geometry. In the second approach, the computational domain is partitioned in two subdomains and the coupling is achieved by defining operators on the interface. To this end, Maxwell's equations are studied in two parts: the topological relations and the constitutive relations. In the CDO framework, the topological relations are formulated using discrete differential operators corresponding to the discretization of the classical vector operators. In order to take into account non-homogeneous boundary conditions, these operators are extended using a dual boundary mesh. The constitutive relations are formulated using discrete Hodge operators. They define the metric of the scheme and depend on the material parameters. The discrete scheme in space and time is then analyzed in terms of stability and consistency. We then test it on different configurations using hybrid meshes.
Dans le domaine de la simulation numérique des équations de Maxwell, l'un des principaux objectifs consiste à rendre compte numériquement de la réalité physique des champs électromagnétiques avec une haute précision et un faible coût calcul. Il existe aujourd'hui de nombreuses méthodes permettant de résoudre le système de Maxwell en domaine temporel, présentant chacune, en fonction des situations, des qualités et des défauts. Dans cette thèse, on s’intéresse à deux stratégies de couplagedes méthodes Compatible Discrete Operators (CDO) appliquées aux équations de Maxwell dans le domaine temporel. La première, consiste à définir localement la métrique du schéma en fonction de la géométrie du maillage. La seconde, consiste à partitionner le domaine de calcul en deux sous-domaines et à coupler les méthodes par la définition d'opérateurs sur l’interface. Pour cela, les équations de Maxwell sont étudiées en deux parties : les relations topologiques, d’une part, et les relations constitutives, d’autre part. Dans le cadre CDO, les relations topologiques sont formulées au moyen d’opérateurs différentiels discrets correspondant à la discrétisation des opérateurs vectoriels classiques. Afin de prendre en compte des conditions au bord non homogènes, ces opérateurs sont étendus au bord. Les relations constitutives sont quant à elles formulées au moyen d’opérateurs de Hodge discrets. Ils définissent la métrique du schéma et dépendent des paramètres matériels. Le schéma discret en espace et en temps est alors analysé en terme de stabilité et de consistance. Il est ensuite testé numériquement sur différentes configurations de maillages hybrides.
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